微分方程组（线性微分方程组）

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微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x)，（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如：其解为：其中C是待定常数；如果知道则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1。

可分离变量方程若一阶微分方程y=f(x，y)可以写成dy/dx=p(x)q(y)，则称之为可分离变量方程，分离变量得dy/q(y)=p(x)dx，两边积分∫dy/q)(y)=∫p(x)dx即可得到通解。

微分方程求解方法总结介绍如下：g(y)dy=f(x)dx形式，可分离变量的微分方程，直接分离然后积分。可化为dy/dx=f(y/x)的齐次方程，换元分离变量。

1、齐次线性微分方程的通解是指能够满足方程所有特解的一般解。齐次线性微分方程的标准形式如下：dy/dx + p(x)y = 0 其中，p(x) 是关于自变量 x 的连续函数。

2、通解的结构：一阶齐次：y＝Cy1，y1是齐次方程的一个非零解；一阶非齐次：y＝y*＋Cy1，其中y*是非齐次方程的一个特解，y1是相应的齐次方程的一个非零特解。

3、齐次线性方程组的通解是X=k1 X1＋ k2 X2 +…+kn-rXn-r，其中X1，X2… ，Xn-r为基础解系。如果mn(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

4、解法一：设此微分方程是y+py+qy=f(x)，其中p，q是待定常数，f(x)是待定函数。把y1，y2，y3代入，解得p，q，f(x)。此法麻烦。解法二：利用二阶非齐次线性微分方程与齐次线性微分方程的解的特点。

5、具体解法为：（1）将原增广矩阵行列变换为标准矩阵。（2）根据标准行列式写出同解方程组。（3）按列解出方程。（4）得出特解。线性方程组的通解由特解和一般解合成。一般解是AX=0求出来的，特解是由AX=B求出来。

微分方程组（线性微分方程组）

一般的、凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的、叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。

含有未知函式的导数，如的方程是微分方程。一般的凡是表示未知函式、未知函式的导数与自变数之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函式是一元函式的，叫常微分方程；未知函式是多元函式的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。

形如y+P（x）y=Q(x)y^n的微分方程，称为伯努利微分方程，其中n≠0并且n≠1，其中P（x），Q（x）为已知函式，因为当n=0，1时该方程是线性微分方程。

微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的书中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。

数学基础：微积分、线性代数等数学基础是解微分方程的前提。建议在学习微分方程之前，先打好这些基础。理论知识：熟悉微分方程的分类、奇偶性、特殊的一阶和二阶微分方程、高阶微分方程等理论知识。

微分方程特征方程公式为：y+py+qy=f(x)。微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。

1、可分离变量方程若一阶微分方程y=f(x，y)可以写成dy/dx=p(x)q(y)，则称之为可分离变量方程，分离变量得dy/q(y)=p(x)dx，两边积分∫dy/q)(y)=∫p(x)dx即可得到通解。

2、微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x)，（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。

3、如何解微分方程如下：我们首先将看到一些相对基本的方法来解这样的方程，这将在经典力学和更高级的问题中帮助你走得更远，比如通过代换或使用能量守恒来求解。

1、含有未知函数的导数，如dy/dx=2x、ds/dt=0.4都是微分方程。一般的、凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。

2、常微分方程（ODE）是包含一个独立变量及其导数的函数的方程式。与“偏微分方程”相比，术语“普通”与对于多于一个的独立变量相关。

3、微分方程是一种包含未知函数及其导数的方程。可以描述许多自然现象和科学问题中的变化规律，例如物理、化学、生物、经济等领域。微分方程的分类根据未知函数的个数，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程。

1、若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)。若r1=r2，则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)。若r1，2=α±βi，则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)。

2、可分离变量方程若一阶微分方程y=f(x，y)可以写成dy/dx=p(x)q(y)，则称之为可分离变量方程，分离变量得dy/q(y)=p(x)dx，两边积分∫dy/q)(y)=∫p(x)dx即可得到通解。

3、一阶线性微分方程通解公式为y+P(x)y=Q(x)。一般的一阶线性微分方程可以写成y+p(x)y=g(x)两边同时乘e^P（P是p的一个原函数）就得到d(ye^P)/dx=ge^P。所以ye^P=∫ge^Pdx。

4、一阶线性微分方程解的结构如下：形如y+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y的次数为0或1。